[3차원 변형 측정기] 라그랑주 변형률이란? (소변형률, 대변형률, Lagrange strain, DIC, 비파괴 검사 장비)

 

목차

 

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소변형률과 대변형률, 라그랑주 변형률

 

변형률은 물체의 변형 정도를 수학적으로 표현하는 물리적 개념으로, 소변형률과 대변형률로 구분됩니다. 이 두 가지는 물리적으로는 크기의 차이를 의미하지 않지만, 수학적으로는 분석의 복잡성과 정확도에 중요한 차이를 만듭니다.

 

변형도(Deformation Gradient)

 

 

소변형률은 변형이 매우 작을 때 사용됩니다. 이 경우 물체의 변위가 작다고 가정할 수 있으므로, 변형률 텐서를 계산할 때 등장하는 고차항(예: 변위의 도함수의 제곱항)을 무시할 수 있습니다. 이러한 단순화는 변형률 텐서를 선형 방정식으로 표현할 수 있게 해줍니다. 따라서 소변형률을 기반으로 한 해석은 계산 비용이 낮고, 선형 해석(linear analysis)으로 처리할 수 있어 구조해석에서 널리 사용됩니다. 하지만 변형이 작을 때에만 이러한 접근법이 유효하며, 변형이 커질수록 고차항을 무시한 단순화로 인해 오차가 누적될 가능성이 있습니다.

 

반면, 대변형률은 변형이 크고, 고차항을 무시할 수 없는 상황에서 사용됩니다. 대변형률에서는 변형률 텐서의 정의에서 등장하는 모든 항을 포함해야 하며, 이는 비선형 방정식으로 표현됩니다. 대변형률 해석은 정확도가 높지만 계산 비용이 크며, 복잡한 수치 해석 기법이 요구됩니다. 특히 변형이 크거나 복잡한 재료 거동을 고려해야 하는 경우에는 대변형률 해석이 필수적입니다.

 

변형률 해석의 기본은 변형도를 통해 정의됩니다. 변형도는 물체가 변형되기 전의 위치를 나타내는 초기 벡터 𝑋와 변형 후의 위치를 나타내는 벡터 𝑥간의 관계를 표현합니다. 변형도가 단위 텐서(identity tensor)로 나타나는 경우, 물체는 단순히 이동만 한 것이며 변형은 발생하지 않았음을 의미합니다. 반대로 변형도가 단위 텐서가 아니라면 물체가 실제로 변형되었음을 나타냅니다.

 

라그랑주 변형률(Lagrange Strain)

 

 

 

이러한 변형도를 이용해 정의되는 라그랑주 변형률(Lagrange strain)은 변형률의 대표적인 예로, 변형 후의 길이 변화와 초기 길이의 비율을 수학적으로 정량화합니다. 라그랑주 변형률을 계산할 때, 소변형률에서는 변위의 도함수 값이 매우 작아 고차항을 무시할 수 있는 반면, 대변형률에서는 이 고차항을 반드시 포함해야 합니다.

 

결론적으로, 소변형률과 대변형률의 가장 큰 차이는 변형의 크기에 따라 수학적 모델을 단순화할 수 있는지 여부에 있습니다. 소변형률 해석은 계산이 간단하고 비용이 적게 드는 장점이 있지만, 변형이 큰 경우에는 오차가 크게 증가합니다. 대변형률 해석은 더 많은 계산 비용을 요구하지만, 큰 변형이 발생하는 상황에서 필수적이며, 결과의 정확도를 보장합니다. 분석가는 이러한 두 가지 방법의 가정과 한계를 충분히 이해하고, 상황에 맞는 해석 방법을 선택해야 합니다.

 

 

 

 

DIC를 활용한 스트레인 측정 기술과 배터리 테스트 적용 사례

 

 

디지털 이미지 상관법(Digital Image Correlation, DIC)은 비접촉식 광학 측정 기술로, 물체의 표면 변형 및 변위를 정밀하게 분석하는 데 사용됩니다. 특히 DIC는 배터리와 같은 민감한 장치나 복잡한 구조물의 변형을 비파괴적으로 측정할 수 있어 다양한 연구 및 산업 분야에서 주목받고 있습니다.

 

 

 

DIC를 활용한 리튬 이온 배터리 테스트

사우스캐롤라이나 대학교의 연구팀은 리튬 이온 배터리의 열화 및 안전성과 관련된 물리적 변형을 연구하기 위해 3D DIC 시스템을 활용했습니다. 연구 대상은 고속 방전되는 18650 2500mAh 20A 리튬 이온 배터리로, 전류 차단 장치(Current Interrupt Device, CID)가 작동하기 직전 배터리의 반경 변화와 변형률을 측정했습니다. 이 과정에서 배터리 내부 압력 증가로 인해 발생하는 미세한 표면 변형을 정밀히 분석할 수 있었습니다.

 

기존의 스트레인 게이지는 변형률 측정을 위해 제한된 범위의 국소적인 데이터만 제공할 수 있었으며, 민감한 배터리와 같은 시편에 물리적으로 부착하기 때문에 실험 조건에 따라 신뢰도가 낮아질 수 있었습니다. 반면, DIC는 비접촉식 방식으로 배터리 전체 표면의 변형을 정확히 측정할 수 있어 이러한 문제를 극복할 수 있었습니다. 특히, DIC 기술은 배터리의 안전성과 열화 메커니즘을 연구하는 데 있어 중요한 데이터를 제공하며, 이를 통해 더 안전한 배터리 설계를 가능하게 합니다.

 

 

DIC의 장점

 

• 비접촉식 측정: 물리적 접촉 없이 데이터를 수집하기 때문에 배터리와 같은 민감한 시편의 손상을 방지할 수 있습니다.
• 전체 필드 변형 분석: 시편 표면 전체의 변위와 변형률 분포를 시각화할 수 있어, 특정 지점뿐만 아니라 전체적인 거동을 분석할 수 있습니다.
• 높은 정확도와 해상도: 미세한 변형까지 정밀하게 측정할 수 있어 재료나 구조물의 기계적 특성 분석에 유용합니다.

 

DIC는 배터리 테스트 외에도 다양한 분야에서 활용되고 있습니다. 예를 들어, 복합재료의 변형 분석, 자동차 타이어의 동적 변형 거동 연구, 항공기 부품의 피로 해석, 강재 댐퍼의 비선형 특성 평가 등에 널리 사용됩니다. 이러한 활용 사례들은 DIC가 다양한 재료와 구조물에서 변형률 분석에 있어 얼마나 강력한 도구로 자리 잡았는지를 보여줍니다

 

 

 

 

 

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