[모달분석] 모달 분석 수식 및 사용 목적(Modal Analysis, Equation)

 

목차

 

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모달 분석(Modal Analysis)이란? 주요 수식(Equation 분석

 

모달 분석은 구조물의 자연 주파수와 모드 형상을 찾는 데 사용되는 선형 역학 분석 방법입니다. 구조물의 동적 응답(Dynamic Reponse)을 해결하기 위해 우리는 항상 모든 지점의 가속도, 속도 및 변위에 대한 미지수인 일반 운동 방정식을 기반으로 합니다.

 

수식1. 운동 방정식

M : Mass

C : Damping

K : Stifness

f : Load

구조물은 다양한 모드로 진동할 수 있습니다. 각 모드는 특정 주파수(Natural Frequency)와 모드 형상(Mode Shape)을 가지며, 주파수는 구조물의 강성과 질량 특성에 의해 결정됩니다. 모드 형상은 구조물의 각 지점에서의 변위 분포를 나타냅니다.

 

모달 분석에서는 일반 운동 방정식을 해석하여 구조물의 모드 주파수와 모드 형상을 구합니다. 이를 위해 구조물의 강성 행렬과 질량 행렬을 구하고, 일반 운동 방정식을 간략화한 형태로 변환합니다. 그런 다음, 이러한 방정식을 행렬 형태로 표현하고, 특정 주파수와 모드 형상에 대한 해를 찾습니다. 이를 통해 구조물의 자연 주파수와 모드 형상을 추정할 수 있습니다.

 

모달 분석은 구조물의 동적 특성을 이해하고 설계나 진동 문제 해결에 유용한 정보를 제공합니다. 자연 주파수와 모드 형상은 구조물의 안정성, 응답 특성 및 구조물에 가해지는 동적 하중에 대한 예측과 분석을 가능하게 합니다.

 

 

 

 

모달 분석에 두가지 조건이 들어갑니다.

 

첫 번째로, 외부 하중(External Load)을 0으로 설정합니다. 모달 분석에서는 구조물에 가해지는 외부 힘이나 부하를 고려하지 않는다는 의미입니다. 이는 자연 주파수와 모드 형상이 외부 하중에 독립적이라는 것을 의미합니다. 즉, 구조물의 특성은 구조물 자체의 강성과 질량에 의해서만 결정된다는 것을 의미합니다. 외부 하중이 없는 상태에서 자연 주파수와 모드 형상을 구하는 것은 구조물의 고유한 특성을 파악하는 데 도움이 됩니다.

 

 

두 번째로, 감쇠(Damping) 효과를 무시합니다. 모달 분석에서는 감쇠 요소를 고려하지 않는다는 의미입니다. 감쇠는 자연 주파수와 모드 형상을 설명하기 위해 복소수를 사용하는데, 이는 좀 더 복잡한 개념입니다. 따라서 초기에는 감쇠 효과를 고려하지 않고 단순하게 모달 분석을 수행합니다. 감쇠 효과는 나중에 필요한 경우 따로 고려할 수 있습니다.

 

 

 

수식2. 모달 분석

 

수식1에 모달 분석(Modal Analysis)을 위한 조건을 적용하여 수식2와 같이 만들어 줍니다. 

 

 

 

 

 

 

모달 분석(Modal Analysis)의 의미

 

단순히 시간 영역(Time Domain)에서는 가속도는 0이고 시편이 정속으로 움직이는 의미 없는 결과를 보입니다. 하지만 주파수영역(Frequency Domain)에서 재미있는 현상을 확인할 수 있습니다.

 

그림1. 스프링 질량 구조

 

먼저, 주파수 영역 문제로 취급한다는 것은 구조물의 모델링을 시간 영역에서 주파수 영역으로 전환하는 것을 의미합니다. 이를 위해서는 구조물의 각 지점이 조화 운동(harmonic motion)을 겪는 것으로 가정합니다.

 

수식3. 조화 운동

 

조화 운동은 간단한 스프링-질량(Spring Mass) 시스템의 진동을 생각해볼 수 있습니다. 이는 주기적인 운동으로, 진폭, 주파수 및 위상각으로 설명할 수 있습니다. 진폭(Amplitude)은 운동의 크기를 나타내며, 주파수(Frequency)는 운동의 주기를 결정하고, 위상각(Phase)은 운동의 시작점을 정의합니다.

 

모달 분석에서는 구조물의 각 모드를 조화 운동으로 가정합니다. 각 모드는 특정한 주파수와 모드 형상을 가지며, 조화 운동의 진폭, 주파수 및 위상각을 사용하여 설명할 수 있습니다. 이를 통해 구조물의 모드 형상을 주파수 도메인에서 파악할 수 있습니다.

 

주파수 영역에서 모달 분석을 수행하면, 구조물의 응답을 주파수별로 분석하고 해석할 수 있습니다. 예를 들어, 특정한 주파수에서 구조물의 응답이 크게 증가할 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 이는 구조물의 안정성과 고유한 동적 특성을 이해하는 데 도움이 됩니다.

 

요약하자면, 모달 분석을 주파수 영역 문제로 취급함으로써 구조물의 응답을 주파수별로 분석할 수 있고, 조화 운동을 가정하여 모드 형상을 설명할 수 있습니다. 이를 통해 구조물의 동적 특성을 더 깊이 이해하고, 설계 및 진동 문제를 해결하는 데 유용한 결과를 얻을 수 있습니다.

 

 

 

 

 

그림3

 

예를 들어, 가까이 있는 두 점 A와 B를 생각해보겠습니다. A와 B는 동일한 주파수로 진동하지만, 진폭이 다를 수 있습니다. 즉, A의 운동이 B의 운동보다 크거나 작을 수 있습니다. 또한, A와 B는 각자의 위상각을 가지고 있어서, A의 운동이 B의 운동과 비교하여 얼마나 앞서거나 뒤처지는지를 나타낼 수 있습니다.

 

이와 같이 모든 물질 점을 스프링-질량 시스템으로 생각하면, 각 점의 진폭과 위상각을 다르게 설정하여 다양한 형태의 진동을 만들어낼 수 있습니다. 이렇게 구조물의 모든 점을 스프링-질량 시스템으로 생각하는 것은 모달 분석에서 모드 형상을 설명하는 방법 중 하나입니다.

 

요약하자면, 구조물의 모든 물질 점을 스프링-질량 시스템으로 생각하면, 각 점은 동일한 주파수로 진동하지만, 진폭과 위상각은 다를 수 있습니다. 이를 통해 다양한 형태의 진동을 구조물에 나타낼 수 있고, 모달 분석에서 모드 형상을 설명하는 데 유용한 개념입니다.

 

 

 

실무에서 모달 분석(Modal Analysis)

 

실제 현장에서 구조물은 위와 같은 단순한 빔(Beam)의 구조가 아닌 경우가 많습니다. 그리고 DOF(Degree of Freedom) 위치도 많고 재료의 특성 등 고려할 점이 많습니다. 이러한 복잡한 수식 처리 및 결과 분석을 위해 소프트웨어를 사용해서 분석합니다.

 

 

위 그림은 팜테크(FAMTECH)에서 제공하는 Vibrant Mescope VT950으로 빔(Beam) 구조의 모달 분석을 진행한 결과 입니다. 이와 같이 애니매이션 형태로 결과를 확인할 수 있고 각 모드의 주파수 별 형상을 확인할 수 있습니다.