모달 해석: 나이퀴스트 플롯 구조물의 주파수 응답(modal testing, frequency response function, FRF, Nyquist plot, modal analysis, vibration testing, coherence, transfer function, resonance frequency, damping ratio)

 

목차

 

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모달 시험은 대형이거나 복잡한 구조물의 설계 유효성을 검증하기 위해 엔지니어들이 사용하는 방법입니다. 구조물에 외란(excita­tion)을 가하고 그에 대한 응답을 기록한 뒤, 이를 일련의 단순한 모드 형상(mode shapes)으로 정리합니다. 이러한 모드 형상 각각은 과도 응답(transient event) 후 구조물이 어떻게 반응하는지를 설명해 주는 여러 매개변수를 갖습니다. 이를 통해 전체 구조 응답을 시각화할 수 있고, 자연 진동수(natural vibration frequencies)를 확인하며 설계의 무결성(integrity of the design)을 평가할 수 있습니다.

 

모달 데이터 및 전달함수

ObserVIEW, 모달 측정 및 분석 화면, 팜테크

 

 

모달 데이터를 취득한 뒤 엔지니어는 구조물의 응답을 시간(domain)에서 주파수(domain)로 푸리에 변환(Fourier transform)합니다. 그 이후 모달 분석 소프트웨어가 실험적인 전달함수(experimental transfer function), 즉 주파수응답함수(FRF: Frequency Response Function)를 계산합니다. 이 전달함수는 감쇠(modal damping)나 자연진동수(natural frequencies) 같은 정보를 제공합니다. 지배적인 자연진동수는 구조물의 개별 모드를 결정짓는 요소입니다. 

전달함수는 자극(excitation)과 그에 따른 응답(response)으로부터 계산됩니다. 선형이고 시간불변(linear and time-invariant)인 시스템의 경우, 정의된 주파수 범위 내에서 두 신호의 비율을 나타냅니다. 

또한 이 주파수응답은 복소수(complex) 성질을 지니며, 실수부(real part)와 허수부(imaginary part)를 갖습니다. 따라서 전달함수는 크기(amplitude 또는 magnitude) 및 위상(phase)으로 정규화(normalize)하여 표현될 수 있습니다. 

 

 

나이퀴스트 플롯을 이용한 주파수응답 분석

ObserVIEW, Nyquist 분석 화면, 팜테크

 

엔지니어들은 자극과 응답 간의 전달함수가 유효한지 확인하기 위해 코히어런스(coherence) 플롯을 이용합니다. 코히어런스는 전달함수 상의 피크가 시험 대상 장치(device under test)의 공진(resonant frequency)인지 혹은 단순히 측정잡음(measurement noise)에 의한 스파이크(spike)인지 판단하는 신뢰도 지표입니다. 

분석 소프트웨어인 ObserVIEW 모달시험(Modal Testing) 기능에서는 나이퀴스트 플롯(Nyquist plot)을 추가하여 전달함수 데이터를 산점도(scatter plot) 형태로 볼 수 있습니다. 나이퀴스트 플롯은 보통 피드백(feedback) 을 포함한 시스템의 안정성(stability)을 평가하는 데 사용됩니다. 

이 플롯은 복소평면(complex plane)에서 벡터 응답(vector response)을 나타냅니다. 전달함수의 실수부를 x축(real axis)으로, 허수부를 y축(imaginary axis)으로 표시하며, 주파수가 –∞부터 +∞까지 변화하면서 각 주파수 값이 플롯 상의 한 지점(point)이 됩니다. 따라서 주파수가 암묵적인 변수(implicit variable)가 됩니다. 이 플롯은 극좌표(polar coordinates)를 이용해 피드백 및 이득(gain) 간의 관계를 표시할 수도 있습니다. 

 

나이퀴스트 플롯으로부터 얻을 수 있는 정보

 

주파수 응답 분석은 제어 시스템(control system)의 안정성과 성능(performance)을 판단하는 데 사용됩니다. 나이퀴스트 플롯을 분석할 때 엔지니어들은 Nyquist stability criterion을 적용합니다. 이는 선형·시간불변(linear, time-invariant) 시스템에 대한 안정성 시험이며, 주파수 영역(frequency domain)에서 개루프 전달함수(open-loop transfer function)에 대해 argument principle(인수 원리)을 적용하여 폐루프 전달함수(closed-loop transfer function)의 안정성 정보를 얻는 방식입니다.

 

ObserVIEW, 공진 포함 Nyquist 분석 화면, FAMTECH

 

모달 시험에서는 나이퀴스트 플롯에서 각 공진 피크(resonance)마다 하나의 로브(lobe, 혹은 원형 궤적)가 나타나는 경향이 있습니다. 예컨대 100 Hz~200 Hz 구간이 첫 번째 로브, 500 Hz~800 Hz 구간이 두 번째 로브로 나뉜다든가 하는 식입니다. 그 다음 각 로브의 상대적인 크기(size)와 진행 방향(direction)을 분석하고, 이를 통해 시스템의 안정성을 판정할 수 있습니다. 또한 나이퀴스트 플롯 데이터로부터 위상 여유(phase margin) 및 이득 여유(gain margin) 를 계산하여 상대적 안정도(relative stability)를 정량화할 수도 있습니다. 

 

ObserVIEW에서의 모달 시험

 

ObserVIEW를 이용하면 사용자는 구조물의 과도 이벤트(transient event)에 대한 응답을 수집할 수 있으며, 각 타격(hit) 위치(hit location)에 대해 평균화된 응답(average response)을 계산하여 매끈한 전달함수(FRF)를 생성할 수 있습니다. 그 후에 이러한 FRF의 모음(collection)을 MEscope 같은 모달 분석 전문 소프트웨어로 내보낼(export) 수 있습니다

 

 

 

해당 내용과 관련해서 팜테크에서 시스템 솔루션을 제공하고 있습니다.  관심 있으시면 아래 홈페이지 또는 연락처를 통해 문의 주시면 됩니다. :)

 

https://famtech.co.kr/sub04/01_01.php

팜테크