[Tensor] 스칼라, 벡터, 응력 텐서란? 응력 불변량(Scalar, Vector, Stress Tensor, 물리, Stress Invariants)

 

목차

 

"관련제품 문의는 로고 클릭 또는 공지사항의 연락처를 통해 하실 수 있습니다."

 

 

스칼라란? (Scalar)

 

스칼라량에 대해 설명드리자면, 스칼라량이란 방향성이 없고 크기만을 가진 물리적 양을 말합니다. 이를 좀 더 쉽게 이해하기 위해, 우리가 일상에서 접하는 몇 가지 예를 들어보겠습니다.

 

• 온도: 예를 들어, 방이 20도라고 말할 때, 이 온도는 방향과는 무관합니다. 그저 '얼마나 덥거나 추운가'를 나타내는 크기(값)만을 가집니다.
• 질량: 어떤 사과가 100그램이라고 할 때, 이 질량은 위, 아래, 오른쪽, 왼쪽과 같은 방향을 가지지 않습니다. 단지 '얼마나 무거운가'를 나타내는 크기만 있을 뿐입니다.
• 에너지: 물체가 5쥴의 에너지를 가지고 있다고 할 때, 이 에너지는 어느 특정 방향을 향해 있는 것이 아니라, 그저 그 물체가 가지고 있는 에너지의 양을 나타냅니다.

 

스칼라량을 일상에서 흔히 접하는 '절댓값'이나 '수치'와 비슷하다고 생각하시면 됩니다. 방향성이 관련 없이, 단순히 '얼마나'라는 것을 나타내는 값입니다. 예를 들어, 수직선 위의 점 A가 원점으로부터 5단위 떨어져 있다고 할 때, 이 거리는 방향을 가지지 않고 '5'라는 크기만을 가집니다.

 

 

 

 

 

벡터란? (Vector)

 

일반적으로 고등학교 물리학에서 우리가 배우는 벡터는 크기와 방향을 모두 가지는 물리적 양을 의미합니다. 예를 들어, 바람이 북쪽으로 시속 10킬로미터로 불고 있다면, 여기서 '시속 10킬로미터'가 크기이고, '북쪽'이 방향이 되는 것이죠. 하지만, 이런 정의는 매우 기본적인 벡터의 개념일 뿐, 실제 수학에서 다루는 벡터의 개념은 훨씬 더 광범위합니다.

 

수학에서는 벡터를 다양한 것들의 조합으로 볼 수 있습니다. 예를 들어, 숫자들의 집합, 함수들의 집합, 심지어는 다른 벡터 공간들의 집합도 벡터로 볼 수 있습니다. 벡터 공간이란, 간단히 말해 벡터들이 모여 있는 공간을 의미하며, 이 공간 안의 벡터들은 특정한 규칙(덧셈과 스칼라 곱셈)을 만족해야 합니다.

 

이 벡터 공간의 기본 규칙에는 다음과 같은 것들이 있습니다.

 

벡터 공리(Axioms)

 

이 규칙들을 만족하는 모든 집합은 벡터 공간이라 할 수 있고, 그 안의 원소들을 벡터라고 합니다.

 

 

 

 

 

 

응력과 스트레스 텐서(stress tensor)

응력과 스트레스 텐서(stress tensor)에 관해 설명드리겠습니다. 응력은 외부에서 물체에 가해진 힘이나 열로 인해 그 내부에서 발생하는 반응의 물리량을 말합니다. 기본적으로, 응력은 두 가지 주요 형태로 나타납니다.

 

• 정규 응력 (Normal Stress): 이는 물체의 단위 면적에 수직 방향으로 작용하는 힘입니다. 이를 통해 물체가 압축되거나 늘어나는 것을 나타냅니다.
• 전단 응력 (Shear Stress): 이는 물체의 단위 면적에 평행 방향으로 작용하는 힘입니다. 이는 물체를 변형시키는 원인이 됩니다.

 

응력의 벡터적 성질

응력은 방향성을 가집니다. 하지만 단일한 방향을 가진 벡터라기보다는, 물체 내부의 다양한 지점에서 다양한 방향과 크기로 작용할 수 있기 때문에, 단순한 벡터로 생각하기보다는 더 복잡한 구조를 가진다고 볼 수 있습니다.

 

스트레스 텐서 (Stress Tensor)

응력의 이러한 복잡성을 수학적으로 표현하기 위해 스트레스 텐서가 사용됩니다. 스트레스 텐서는 물체 내부의 응력 상태를 전체적으로 나타내는 3차원 행렬입니다.

 

 

 

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Components_of_Stress_Tensor.png

 

 

미소한 체적의 세계에서 응력을 3차원으로 생각합니다. σxx, σyy, σzz 는 각각 x, y, z 방향의 정규 응력을 나타냅니다. 이들은 물체의 각 축에 수직인 면에 작용하는 응력으로, 물체를 압축하거나 늘리는 힘을 나타냅니다. 나머지는 전단 응력을 나타냅니다. 이들은 두 방향에 대해 면에 평행하게 작용하는 응력으로, 물체를 비틀거나 변형시키는 힘을 나타냅니다.

 

i, j는 텐서를 구성하는 2가지 기저 벡터(Basis vetor)를 의미합니다. i는 어떤 축에 수직한 면인가를 의미하고 j는 응력의 방향을 의미 합니다. 2개의 기저 벡터로 구성되기 때문에 응력텐서를 2차텐서라고 부릅니다. 스칼라는 0차 텐서, 벡터는 1차 텐서라고 부릅니다.

 

예를 들어 σxz = 3 은 x축에 수직한 면(녹색)이 z축으로 3의 전단 응력을 받고 있다고 할 수 있습니다.

 

 

 

 

응력 불변량(Stress Invariants)

응력은 물체가 외부로부터 힘을 받았을 때, 그 힘에 저항하려는 물체 내부의 단위 면적당 힘입니다. 이는 물체 내부의 각 위치에 따라 변하며, 특정 지점에서도 기준이 되는 좌표축의 방향에 따라 응력 텐서 값이 변합니다.

 

 

 

응력 불변량은 좌표축의 방향과 무관하게 일정한 값을 가지는 특별한 응력 값들을 말합니다. 3차원에서는 9개의 응력 성분 중에서 3가지 주요 응력 불변량이 있습니다.

 

• 제 1 응력 불변량: 세 축 방향으로의 수직응력 성분의 합으로, 물체를 압축하거나 팽창시키는 역할을 합니다.
• 제 2 응력 불변량: 물체의 변형 상태를 나타내며, 영구 변형(소성 변형)을 판단하는 데 주로 사용됩니다.
• 제 3 응력 불변량: 역시 물체의 영구 변형을 판단하는 데 사용됩니다.

 

물 속에 잠겨있는 공 모양의 물체가 외부로부터 균일한 수압을 받는 경우를 생각해 봅시다. 이 경우, 물체 내부의 한 지점에서의 제 1 응력 불변량은 수압과 동일하며, 전단응력은 존재하지 않습니다. 따라서, 물체는 찌그러짐 없이 순수하게 압축만 되며, 제 2와 제 3 응력 불변량은 0이 됩니다. 이는 물체가 영구변형을 일으킬 가능성이 없음을 의미합니다.

 

반대로, 제 1 응력 불변량이 0이고 나머지 두 응력 불변량이 존재하는 경우, 물체는 압축되거나 팽창되지 않고 형상의 찌그러짐만 발생할 수 있습니다. 이는 외부 하중의 크기에 따라 영구변형이 발생할 가능성이 높음을 나타냅니다.

 

 

 

 

DIC 장비로 응력 텐서 측정(Digital Image Correlation)

 

 

VIC-3D 9 시스템은 표면 형태, 변형, 변형률, 진동 등을 비접촉 방식으로 전체적으로 측정하는 완전한 솔루션을 제공하는 시스템입니다. 이 시스템의 핵심은 VIC-3D 디지털 이미지 상관관계(DIC) 소프트웨어와, 스테레오 방식으로 장착된 디지털 카메라에서 이미지를 취득하고 분석하는 VIC-Snap 데이터 취득 소프트웨어로 구성됩니다. 생물학적 조직의 변형 측정부터 터빈 엔진 부품의 동적 진동 측정에 이르기까지, VIC-3D는 복잡한 기계적 시험 응용 분야를 다룰 수 있습니다. 

 

 

측정 가능 값 리스트

• 3D surface shape profile: Cartesian and cylindrical coordinates

• 3D displacements (u,v,w, dR, dZ, dθ, etc.)

• 3D strain tensor (Exx, Eyy, Exy, e1, e2, Tresca, von Mises, etc.)

      ○ Tensor Types: Engineering, Biot, Lagrange, Hencky (log), Euler-Almansi, Log, Euler-Almansi

• 3D velocities & strain rates

• 3D Operational Deflection Shapes (ODS) – requires FFT module

• 3D Accelerations – requires FFT module

• Analog data (via DAQ input)

• User-defined: enter your own formula to create new variables, such as engineering stress during elasticity

 

 

 

해당 내용과 관련해서 팜테크에서 교육 프로그램, 측정/분석 용역, 장비를 제공하고 있습니다.  관심 있으시면 아래 홈페이지 또는 연락처를 통해 문의 주시면 됩니다. :)

 

https://famtech.co.kr/sub04/01_01.php

교육일정및신청(주)팜테크