[모달 분석]고유값, 고유벡터과 모드형상, 자연진동수 관계(Modal Analysis, Eigen Value/Vector, Mode Shape, Natural Frequency)

 

목차

 

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Modal Analysis 고유값, 고유벡터과 모드형상, 자연진동수란?

 

모달 분석에서, 고유값(Eigen Value은 자연진동수(natural frequency)를, 고유벡터는 모드형상(mode shape)을 나타냅니다.

 

자연진동수는 시스템이 외부 힘에 의해 자극되지 않고 자유롭게 진동할 때의 진동 주파수를 말합니다. 모드형상은 해당 자연진동수에서 시스템이 나타내는 진동 패턴을 말합니다.

 

예를 들어, 건물이 지진 등의 외부 요인에 의해 진동할 때, 해당 건물의 자연진동수는 건물이 자유롭게 진동하는 주파수를 나타냅니다. 모드형상은 해당 자연진동수에서 건물이 나타내는 진동 패턴을 나타냅니다. 예를 들어, 건물이 가장 높은 진동 주파수에서 높이 떨어지는 등의 패턴을 보일 수 있습니다.

 

고유값과 고유벡터는 시스템의 강성 행렬(stiffness matrix)과 질량 행렬(mass matrix)을 이용하여 구할 수 있습니다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다:

 

 

 

수식1

위 수식1은 https://famtech.tistory.com/232 포스트의 모드해석 수식을 행렬 형태로 변경한 것입니다. 

 

M은 질량 행렬(Mass Matrix)이고 K는 강성 행렬(Stiffness Matrix)이고 x는 변위 벡터(Displacement Vector)입니다. 수식1을 만족하는 근의 형태는 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

 

수식2

 

A는 크기 벡터(Amplitude Vector)이고 w는 자연 주파수(Natural Frequency)입니다.

 

수식2를 수식1에 대입하고 풀면 아래와 같이 수식3으로 전개 됩니다.

수식3

 

여기서 K는 강성 행렬, M은 질량 행렬, w는 자연진동수를 나타내며, A는 모드형상을 나타냅니다. 

 

이 식을 만족하는 w와 A를 찾으면 됩니다. 이를 위해서는 행렬식(determinant)을 이용한 방법이나, 전통적인 고유값 분해(eigendecomposition) 방법 등을 사용할 수 있습니다.

 

A라는 벡터를 크기 벡터를 두고 식이 0이 되는 고유벡터와 고유 값을 구할 수 있는 수식의 형태가 됩니다. 

 

 

 

수식4

 

det는 행렬식(determinant)을 의미합니다. 이 수식에서, 행렬식이 0이 되는 w 값이 고유값이며, 이 값이 자연진동수를 나타냅니다.

즉, 모달 분석에서 고유값은 시스템이 자유롭게 진동할 때의 주파수를 나타내며, 고유값을 구하는 방법은 시스템의 강성과 질량 행렬을 이용하여 행렬식을 계산하고, 이를 0으로 만드는 w 값을 구하는 것입니다.

 

 

결론적으로, 모달 분석에서 고유값은 시스템의 자연진동수를, 고유벡터는 해당 자연진동수에서 시스템이 나타내는 모드형상을 나타냅니다. 이들을 구하는 방법은 시스템의 강성 행렬과 질량 행렬을 이용하여 행렬식이 0이 되는 고유값과 이에 해당하는 고유벡터를 찾는 것입니다.

 

 

 

 

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