FFT, 주파수 누유, 윈도우 기법(Frequency Leakage, Windowing)

 

목차

 

 

"관련제품 문의는 로고 클릭 또는 공지사항의 연락처를 통해 하실 수 있습니다."

 

 

 

 

FFT, 주파수 누유 (Frequency Leakage)

 

이번 포스트는 팜테크에서 판매 중인 MEScope 소프트웨어를 사용해서 주파수 누유가 무엇인지 그리고 왜 발생하는지에 대해 알아보겠습니다. 그리고 어떻게 보완하는지에 대해서도 실습을 통해 확인해보겠습니다.

 

FFT(Fast Fourier Transform)는 시간 영역에서의 신호를 주파수 영역으로 변환시켜줍니다. 이때, FFT는 유한한 시간(Finite Time) 동안 신호를 분석하기 때문에 이산적인 주파수를 가지게 됩니다.

 

그림1

신호가 주기적이거나 길이가 긴 경우에는 주파수 누수가 발생할 가능성이 높아집니다(그림1참조). 이는 FFT가 앞서 내용과 같이 유한 시간 동안 신호를 분석하기 때문입니다.

주기적인 신호(이산 입력)의 경우, FFT는 이산적인 주파수로 변환됩니다. 이때, 주파수가 정확히 이산적이 아니라서 주파수 누수가 발생할 수 있습니다. 예를 들어, 10Hz 주기로 신호가 있을 경우 FFT는 10Hz, 20Hz, 30Hz, ...와 같은 이산적인 주파수만을 측정할 수 있습니다. 그러나 만약 주파수가 11Hz와 같이 이산적이지 않은 경우, FFT는 이를 가장 가까운 이산적인 주파수로 변환하게 되며, 이로 인해 주파수 누수가 발생할 수 있습니다.

또한, 신호의 길이가 길어질수록 FFT의 주파수 해상도가 낮아져서 주파수 누수가 발생할 가능성이 높아집니다. 이는 FFT가 유한한 시간 동안 신호를 분석하기 때문에, 긴 시간 동안의 신호를 분석할 경우 해당 시간 동안의 주파수 정보만을 얻을 수 있기 때문입니다. 따라서, FFT를 이용하여 긴 시간 동안의 신호를 분석할 경우, 주파수 누수가 발생할 수 있으며, 이를 해결하기 위해 윈도우 함수를 사용할 수 있습니다.

 

 

 

윈도우 기법(Windowing)

그림2

 

Windowing은 주로 FFT(Fast Fourier Transform)에서 주파수 누유를 방지하기 위해 사용되는 기술입니다. FFT는 이산적인 주파수를 가지고 분석하기 때문에, 이산적인 주파수가 아닌 신호의 경우 주파수 누유가 발생할 수 있습니다. Windowing은 이러한 주파수 누유를 방지하기 위해 FFT 입력 데이터에 가중치를 부여하는 기술입니다.

Windowing은 FFT 입력 데이터에 윈도우 함수를 적용함으로써 구현됩니다. 윈도우 함수는 입력 데이터의 각 샘플에 대해 일정한 가중치를 부여하는 함수로, 이 가중치는 입력 데이터의 시작과 끝 부분에서 감소하도록 설계되어 있습니다. 이러한 가중치를 부여함으로써, FFT에서 계산된 주파수 정보가 신호의 실제 주파수와 더욱 일치하도록 하여 주파수 누유를 방지할 수 있습니다.

가장 일반적으로 사용되는 윈도우 함수는 Hanning 윈도우 함수입니다. Hanning 윈도우 함수는 입력 데이터의 시작과 끝 부분에서 0이 되며, 중심에서 최대값 1을 갖도록 설계되어 있습니다. 이 외에도 다양한 윈도우 함수가 있으며, 어떤 윈도우 함수를 사용할지는 입력 데이터의 특성과 분석 목적에 따라 선택됩니다.

Windowing은 FFT에서 주파수 누유를 방지하는 중요한 기술이며, 다양한 신호 처리 응용 분야에서 널리 사용됩니다.

 

 

Hanning 과 Flat Top 윈도우 필터와 비교하여, Rectangle 윈도우는 사이드 로브 진폭이 가장 높고 중앙 로브에 가장 큰 곡률을 갖습니다.

 

Hanning 윈도우는 직사각형 윈도우의 사이드 로브 진폭보다 훨씬 작은 진폭을 가진 사이드 로브를 갖습니다. 이로 인해 주파수가 이웃하는 신호로 누출되는 것을 최소화하는 감쇠 효과를 얻을 수 있습니다.
하지만 Hanning 윈도우는 중앙 로브가 더 넓어져서 가장 가까운 제로 지점 사이에 4개의 Δf가 있습니다. Hanning 윈도우를 사용하면 톤의 주파수 해상도가 감소됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

팜테크 MEScope 로 실습하기

 

 

왼쪽은 시간 도메인에서의 파형으로 프로그램을 사용해서 생성하였습니다. 5Hz 주기를 가지는 사각파로 내부에 5, 15, 25Hz의 사인 파가 포함되어 있습니다.

 

왼쪽 상단은 Rectangular 윈도우를 적용한 것이고 중간은 Hanning 윈도우 가장 하단은 Flat Top 윈도우를 사용하였습니다.

 

Rectangular 윈도우는 윈도우를 사용하지 않고 FFT를 한것과 동일 합니다. 오른쪽의 주파수 도메인 분석값을 보시면 파란색 그래프에서 Peak 주파수 사이에 누유 현상이 심함을 확인할 수 있습니다. 그리고 윈도우를 적용함에 따라 누유 현상이 많이 줄어들었음을 확인할 수 있습니다. 

 

 

 

다음 표는 Flat Top 윈도우를 기준으로 다른 윈도우의 Peak 값을  제공합니다. 누유로 인한 Peak의 증가와 감소치를 확인할 수 있습니다.