모달 분석 도메인에 따른 특성, 수식(Modal Analysis, Equation, Time, Frequency Domain, Equation)

 

목차

 

 

 

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모달 분석 도메인에 따른 특성

앞서 포스트에서 모달 분석(Modal Analysis)의 정의와 모드 및 특성에 대해 알아보았습니다(https://famtech.tistory.com/105). 이번 시간에는 예제와 함께 시간(Time), 주파수(Frequency), 모드(Mode) 도메인에 따른 특성과 차이에 대해 살펴 보겠습니다.

 

 

 

위 그림과 같이 벽면에 캔틸레버(cantilever) 한쪽을 고정한 구조물이 있다고 생각하겠습니다. 그리고 캔틸레버(cantilever) 고정되지 않은 면에 충격파(Pulse)를 가해보겠습니다. 이상적인 Pulse의 경우 모든 주파수 성분을 포함하고 있습니다. 즉, 캔틸레버는 입력에 응답으로 시스템이 가지는 모든 모드(mode)를 포함한 응답을 전달 합니다.

 

 

시험 조건

 

• 벽면에 캔틸레버 고정
• 반대면에 Pulse 입력
• 응답(Response) 측정

 

 

상단 그림에 시간(Time)과 주파수(Frequency)는 시스템 전체의 응답 곡선입니다. 

 

시간 그래프는 푸리에 변환(Fourier Transform)을 통해 주파수로 변환됩니다. 

 

위 그림과 같이 변환된 주파수 그래프는 FRF(Frequency Response Function)이라고도 불립니다(실제 FRF는 위상(Phase)정보까지 포함함). 그래프에서 Peak 점들은 시스템이 가지는 공진주파수(Natural Frequency)에 응답으로 나옵니다. 

 

 

 

빔의 전체 시스템은 여러개의 SDOF를 포함한 MDOF(Multi DOF)입니다. 그림에서 Analytical Model 부분이 각 SDOF를 그림으로 표현한 것입니다. 각 각의 SDOF는 별도의 시간, 주파수, 모드 응답을 가질 수 있습니다. 전체 그림에서는 3개의 SDOF로만 표현 했지만 구조물에 따라 더 많은 SDOF를 가질 수 있습니다. 

 

 

 

모달 분석 도메인 수식(Equation) 전개

 

앞서 하나의 시스템에는 여러개의 SDOF가 존재함을 얘기 드렸습니다. 각 SDOF를 Matrix로 정리한 MDOF 시간 응답은 아래 그림과 같이 표현할 수 있습니다. 

 

 

[M], [C], [K]는 각 SDOF가 가지는 Mass(무게),  Damping(댐핑), Stiffness(강성)에 대한 행렬 정보 입니다. 각 SDOF는 서로간에 영향을 주지 않는 고유벡터(eigenvector)입니다. 

 

즉, Mass(무게),  Damping(댐핑), Stiffness(강성) 는 Diagonal 형태의 Matrix를 가지게 됩니다. 이러한 속성을 이용해서 Eigensolution 을 사용해서 주파수 변환을 하면 아래와 같은 변환 됩니다.

 

 

 

 

모달 분석 도메인에 따른 특성 결론

 

• 시간, 주파수, 모드 도메인은 상호 연결된 다른 형태의 표현임
• 시간, 주파수, 모드에 의한 분류가 아닌 각 SDOF에 따라 특성이 분리됨

 

 

원문>>

https://files.vibetech.com/Modal_Space/apr98.pdf